Segundo Periodo De Fisica: 2013

miércoles, 13 de noviembre de 2013

pendulo simple

El péndulo simple:

es uno de los modelos ideales más comunes en la física, consiste en una masa puntual suspendida de un hilo de masa despreciable y que no se puede estirar. Si movemos la masa a un lado de su posición de equilibrio (vertical) esta va a oscilar al rededor de dicha posición.

La plomada de un teodolito y un niño que se balancea en un columpio son ejemplos prácticos que se pueden simular o modelar como un péndulo simple.

Debemos tener en cuenta que para que este modelo sea válido, las oscilaciones deben ser pequeñas. Esto en razón a que para ángulos pequeños el seno de ángulo Ɵ es casi igual al ángulo Ɵ en radianes.

Así podemos decir que el movimiento del péndulo simple es armónico y que al estudiar la dinámica de su movimiento obtendremos que el periodo y la frecuencia dependen solamente de la longitud y la gravedad.

El péndulo simple consiste en una pequeña masa suspendida de un hilo idealmente inextensible y sin peso (de longitud “ l ”), fijado a su vez a una viga horizontal en reposo.

A continuación haremos un estudio dinámico del movimiento pendular. Descomponemos la fuerza peso del objeto en dos componentes perpendiculares entre sí: la dirección del movimiento (tangente a la curva de la trayectoria) y la dirección del hilo.

Esta última componente se cancela con la tensión de la cuerda que es la fuerza que el hilo le aplica hacia arriba al peso. De manera que la fuerza resultante actuando sobre el cuerpo es la componente tangencial del peso “p_t”.

LEYES DEL ISOCRONISMO DEL PÉNDULO

Las fórmulas del período y la frecuencia del péndulo (5) y (6) sugieren que estas magnitudes dependen sólo de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad.

1) El período “T” de un péndulo es independiente de la masa pendular: Cualquiera sea el valor de la masa pendular “m”, el período “T” será constante (para una misma longitud del hilo “l” y en un mismo lugar de la tierra).

2) El período “T” de un péndulo es independiente de la amplitud de la oscilación: Esto es cierto para ángulos máximos de oscilación “a” menores a 15º, como ya se citó; pues para ángulos mayores la aproximación hecha en (7) presenta diferencias mayores al 1 %.

Si en un mismo lugar de la tierra (g = constante) se miden los períodos de dos péndulos de diferentes longitudes l₁ y l₂ resulta :

Si a un mismo péndulo (“l” = constante) se le miden los períodos de oscilación en dos puntos de diferente aceleración de la gravedad g₁y g₂, resulta:

energia en los sistemas oscilaantes

El movimiento oscilatorio corresponde a la situación de un sistema de partículas, S, que está sometido tanto a fuerzas conservativas o como disipativas en el caso más general, con un número cualquiera n de grados de libertad, y de forma que durante un intervalo T de tiempo el mínimo de su energía potencial se encuentra dentro de un entorno, simétrico o asimétrico, repitiéndose periódicamente los valores de tal entorno en el movimiento real del sistema.

El estudio matemático de un sistema oscilante puede hacerse de forma muy precisa construyendo su función de Lagrange, para, a partir de ella, obtener tanto sus ecuaciones de movimiento como las restantes magnitudes cinemáticas y dinámicas

ENERGIA EN LOS SISTEMAS OSCILANTES:el sistema formado por una masa

m

unida a un muelle de constante recuperadora

k

y longitud natural nula,y sometida además a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. En este caso, las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza recuperadora del muelle y la fuerza de rozamiento

$begin{array}{lcr}mathbf{F}_k=-kmathbf{r}&&mathbf{F}_v=-bmathbf{v}end{array}$

begin{array}{lcr}mathbf{F}_k=-kmathbf{r}&&mathbf{F}_v=-bmathbf{v}end{array}

|| begin{array}{lcr}mathbf{F}_k=-kmathbf{r}&&mathbf{F}_v=-bmathbf{v}end{array} ||

El coeficiente

b

indica la intensidad de la fuerza del rozamiento. El signo negativo indica que esta fuerza se opone siempre a la velocidad.

Si suponemos que el movimiento se produce en una dimensión, escogiendo el eje $X$ a lo largo de la dirección del movimiento podemos expresar las fuerzas como

$begin{array}{lcr}F_k=-kx&&F_v=-bdot{x}end{array}$

begin{array}{lcr}F_k=-kx&&F_v=-bdot{x}end{array}

|| begin{array}{lcr}F_k=-kx&&F_v=-bdot{x}end{array} ||

El movimiento de la masa viene determinado por la Segunda Ley de Newton

$mddot{x}=F_k+F_v=-kx-bdot{x}$

mddot{x}=F_k+F_v=-kx-bdot{x}

|| mddot{x}=F_k+F_v=-kx-bdot{x} ||

Reordenamos los términos de la ecuación y la escribimos

$ddot{x}+2gammadot{x}+omega_0^2x=0$

ddot{x}+2gammadot{x}+omega_0^2x=0

|| ddot{x}+2gammadot{x}+omega_0^2x=0 ||

siendo

$begin{array}{lccr}gamma=b/2&&&omega_0^2=k/mend{array}$

begin{array}{lccr}gamma=b/2&&&omega_0^2=k/mend{array}

Sistemas oscilantes

Si el sistema es ideal, la energía mecánica es constante, siendo la suma entre la energía cinética y la energía potencial elástica, las cuales varian a lo largo del periodo, pero siempre manteniendo la energía mecánica constante. Las ecuaciones son

Ek = m·v² / 2

Ep = k·x² / 2

donde

Ek = energía cinética

m = masa

v = velocidad

Ep = energía potencial

k = constante elástica

x = posición

Es decir, la energía cinética varía con el cuadrado de la velocidad, mientras que la energía potencial es proporcional al cuadrado de la posición. A la vez, la posición y la velocidad son funciones cosenoidales del tiempo

Si el sistema no es ideal, aparece la fuerza de roce entre el cuerpo y el medio donde se mueve. La fuerza de roce es no conservativa, es decir, va convirtiendo al energía mecánica en calor, por lo cual las energías cinética y potencial son cada vez menores, hasta que el cuerpo se detiene y toda la energía mecanica se ha transformado en calor

|| begin{array}{lccr}gamma=b/2&&&omega_0^2=k/mend{array} ||

El parámetro

γ

indica la intensidad del rozamiento y

ω0

es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento. Recibe el nombre de frecuencia natural.

Existe un especial tipo de movimiento, corriente en los sistemas de partículas, que, por su aplicabilidad a diferentes campos de la física, tanto teórica como experimental, merece una especial atención.

El movimiento oscilatorio corresponde a la situación de un sistema de partículas, S, que está sometido tanto a fuerzas conservativas o como disipativas en el caso más general, con un número cualquiera n de grados de libertad, y de forma que durante un intervalo T de tiempo el mínimo de su energía potencial se encuentra dentro de un entorno, simétrico o asimétrico, repitiéndose periódicamente los valores de tal entorno en el movimiento real del sistema.

El estudio matemático de un sistema oscilante puede hacerse de forma muy precisa construyendo su función de Lagrange, para, a partir de ella, obtener tanto sus ecuaciones de movimiento como las restantes magnitudes cinemáticas y dinámicas

2. Los tipos de sistemas oscilantes:

Si llamamos V a la función potencial de las fuerzas conservativas que actúan sobre el sistema de partículas oscilante, se tiene que V puede depender o no del tiempo.

Llamaremos Oscilador forzado a un sistema oscilante en el que las fuerzas conservativas dependen del tiempo. Siempre es posible descomponer, en este caso, la función potencial en suma de una parte independiente del tiempo y otra parte que si depende del tiempo. A la parte del potencial independiente del tiempo se le puede llamar Potencial de oscilación, y a la parte que sí depende del tiempo Potencial recuperador.

En lo que respecta a las fuerzas no conservativas, es decir, a las fuerzas disipativas que actúan sobre el sistema oscilante, estas podrían o no considerarse nulas durante todo el intervalo de oscilación. El caso en el que las fuerzas disipativas no son idénticamente nulas durante el periodo de oscilación corresponde al oscilador que llamaremos Oscilador amortiguado, o bien, Oscilador con amortiguamiento.

Se define como Oscilador librea un sistema oscilante que no es forzado ni amortiguado, es decir, un oscilador sobre el que no actúan fuerzas conservativas dependientes del tiempo ni tampoco está sometido a fuerzas de disipación.

Todos los casos, por tanto, ser pueden clasificar así:- Oscilador no forzado ni amortiguado (Oscilador libre). - Oscilador no forzado pero con amortiguamiento - Oscilador forzado sin amortiguamiento. - Oscilador forzado y amortiguado.

movimiento circular uniforme

El Movimiento Circular Uniforme:
es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro.

Ángulo y velocidad angular:

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene $2\pi\,$ radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo

$\omega = \frac{d\varphi}{dt}$

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Posición

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes $(\text{O}; \mathbf i, \mathbf j)$ . La posición de la partícula en función del ángulo de giro $\varphi$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

$\begin{cases} x = r \cos \varphi \\ y = r \sin \varphi \end{cases}$

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

$\mathbf {r} = r \cos (\omega t) \mathbf i + r \sin (\omega t) \mathbf j$

siendo:

$\mathbf{r} \;$ : es el vector de posición de la partícula.

$r \;$ : es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

$\omega = \frac{d\varphi}{dt} = \frac{\varphi}{t} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \omega {t}$

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

$\varphi = \frac{s}{r}$

donde s es la longitud del arco de circunferencia
Según esta definición:

1 vuelta = 360° = 2 π radianes

½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial:

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf r}{dt} = -r\omega\sin (\omega t) \mathbf i + r\omega\cos (\omega t) \mathbf j$

en donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

$\mathbf{v} = \omega \mathbf r$

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar $\mathbf r \cdot \mathbf v$ y comprobando que es nulo.

Aceleración:

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

$\mathbf{a} = \frac{d\mathbf v}{dt} = -r\omega^2\cos (\omega t) \mathbf i - r\omega^2\sin (\omega t) \mathbf j$

de modo que

$\mathbf{a} = -\omega^2 \mathbf r$

Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad $v\,$ de la partícula, ya que, en virtud de la relación $v=\omega r\,$ , resulta

$a = \omega^2 r = \frac{v^2}{r}$

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Movimiento circular y movimiento armónico

En dos dimensiones la composición de dos movimientos armónicos de la misma frecuencia y amplitud, convenientemente desfasados, dan lugar a un movimiento circular uniforme. Por ejemplo un movimiento bidimensional dado por las ecuaciones:

$x(t)=R_0\sin(\omega t+\pi/2),\ y(t)=R_0\sin(\omega t)$

El momento angular puede calcularse como:

$L=xp_y - yp_x = m(x\dot{y}-y\dot{x}) = m\omega R^2$

De hecho las órbitas planetarias circulares pueden entenderse como la composición de dos movimientos armónicos según dos direcciones mutuamente perpendiculares.

periodo y frecuencia:

El periodo $T\,$ representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta y viene dado por:

$T=\frac{2\,\pi}{\omega}$

La frecuencia $f\,$ mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

$f=\frac{\omega}{2\,\pi}$

Por consiguiente, la frecuencia es el recíproco del período:

$f = \frac{1}{T}$

movimiento circular en mecanica relativista:
Si bien la teoría especial de la relatividad permite que una partícula no cargada esté en movimiento circular uniforme, esto en general no resulta posible para una partícula cargada a la que no se le suministra energía adicional. Esto se debe a que una partícula cargada acelerada emite radicación electromagnética perdiendo energía en ese proceso. Eso es precisamente lo que sucede en un sincrotrón que es un tipo de acelerador de partículas (de hecho la radicación de sincrotón emitida por partículas aceleradas en un anillo puede usarse con fines médicos).

Además, en la mecánica relativista el cociente entre la fuerza centrípeta y la aceleración centrípeta, es diferente del cociente entre la fuerza tangencial y la aceleración tangencial. Esto introduce una diferencia fundamental con el caso newtoniano: la aceleración y la fuerza relativistas no son vectores necesariamente paralelos:

$\mathbf{F} = \frac{d}{dt}\left( \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = \frac{m\mathbf{v}}{\left[1-\frac{v^2}{c^2}\right]^{3/2}} \left( \frac{\mathbf{v}}{c^2}\cdot \mathbf{a} \right) + \frac{m\mathbf{a}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

De la relación anterior, se deduce que la fuerza y la aceleración sólo son paralelas en dos casos:

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{v} = 0, \qquad \mathbf{a}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{v}\|$

El primer caso se da cuando la aceleración y la velocidad son perpendiculares, cosa que sucede en el movimiento circular uniforme. El segundo caso se da en un movimiento rectilíneo. En cualquier otro tipo de movimiento en general la fuerza y la aceleración no serán permanentemente paralelas.

movimiento circular en mecanica cuantica:
En mecánica cuántica si bien no puede hablarse de trayectoria con precisión pueden ser analizados los estados cuánticos estacionarios de una partículas que debe moverse a lo largo de un anillo. Los estados estacionarios de una partícula en un anillo son el análogo cuántico del movimiento circular uniforme.

Un hecho interesante es que las predicciones para una partícula cargada, es que esta no tiene porqué emitir fotones, de la misma manera que el electrón orbitante alrededor del núcleo no emite energía, por ser el valor resultante de la aceleración vectorial nula, al ser la distribución simétrica respecto al núcleo atómico.

movimiento armonico simple

Movimiento Armónico Simple (MAS):
El tipo de movimiento en que la aceleración de la masa oscilante y la fuerza que actúa sobre ella,
son proporcionales al desplazamiento y siempre están dirigidas al centro, se denomina Movimiento
Armónico Simple.
En la gura 3.1 se muestran dos ejemplos de masas oscilantes.

Términos asociados al MAS:
OSCILACIÓN SENCILLA. Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria.
OSCILACIÓN COMPLETA. Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria y regreso
hasta el punto de partida, es decir, una oscilación completa es igual a dos oscilaciones sencillas.
PERÍODO (T). Es el tiempo que tarda la partícula en dar una oscilación completa.
FRECUENCIA (f). Es la cantidad de oscilaciones completas que la partícula realiza en la unidad
de tiempo (1 segundo). Se sigue cumpliendo que f = 1/t
PUNTO DE EQUILIBRIO. Es el punto central de la trayectoria de la partícula.
PUNTO DE RETORNO. Son los extremos de la trayectoria de la partícula que limitan el
movimiento de la partícula.
ELONGACIÓN (x). Es la distancia que separa la partícula de su posición de equilibrio.
AMPLITUD (A). Es la máxima elongación posible y equivale a la distancia entre el punto de
equilibrio y uno de los puntos de retorno.

Elongación, Velocidad y Aceleración en el MAS:
Si la elongación del Movimiento Armónico Simple se la representa según avanza el tiempo, se obtiene
una grá ca periódica que corresponde a una función trigonométrica del tipo SENO o COSENO.
Si se considera la Velocidad Lineal y la Aceleración Centrípeta de la partícula al mismo tiempo que
ocurre la elongación, se obtienen los siguientes registros:
Elongación en el tiempo t esta dada por la expresión
x = A ¢ Sen(w ¢ t)
y puede verse en la gura 3.3.
Elongación máxima
xmax = A
La velocidad de la partícula es mayor mientras más lejos se encuentra de los puntos de retorno,
siendo máxima cuando cruza por el punto de equilibrio y mínima (cero)en los puntos de retorno.
Velocidad en el tiempo t esta dada por
V = Aw ¢ Cos(w ¢ t)
o también:
V = w ¢ x
y se muestra en la gura3.4
Velocidad Máxima
Vmax = A ¢ w
Aceleración en el tiempo t
a = ¡Aw2
¢ Sen(w ¢ t)

ACELERACIÓN:
o también:
a = ¡w
2
¢ x
y se puede ver en la gura 3.5.
Aceleración Máxima
amax = ¡A ¢ w
2
El signo negativo (-) indica que la aceleración apunta siempre en dirección contraria a la velocidad,
para hacer que la partícula regrese al punto de equilibrio
La Aceleración de las partículas es mayor mientras más lejos se encuentra del punto de equilibrio,
siendo máxima en los puntos de retorno y mínima (cero) en el punto de equilibrio.
Donde
x =Elongación
V =Velocidad Lineal
a =Aceleración Centripeta
A =Amplitud
w =Velocidad Angular =
£
t
t = Tiempo Transcurrido
Las fórmulas de Velocidad y Aceleración descritas en la tabla anterior, son consecuencias de la
grá ca inicial de la Elongación, ya que de ésta se derivan las demás. Decidir entre el uso del Seno o el
Coseno para expresar la elongación, depende del instante en que se comienza a contar una oscilación
completa: si es desde el punto de equilibrio (como en la ilustración) es una grá ca senosoidal y si se
inicia desde algún punto de retorno, la grá ca es del tipo cosenosoidal.
Cualquier forma de la grá ca describirá el Movimiento Armónico Simple de la partícula y sus
propiedades partículares, ya que ambas formas son válidas.

Las fórmulas anteriores tamien pueden tomar la forma:
.
ELONGACIÓN. x = A ¢ Sen(w ¢ t) ! x = A ¢ Cos(w ¢ t)
VELOCIDAD. V = Aw ¢ Cos(w ¢ t) ! V = ¡Aw ¢ Sen(w ¢ t)
ACELERACIÓN. a = ¡Aw2
¢ Sen(w ¢ t) !a = ¡Aw2
¢ Cos(w ¢ t)

http://www.youtube.com/watch?v=yWajRrhrDlQ

movimiento periodico

Movimiento Periódico:
Es el movimiento de un cuerpo o partícula que a intervalos iguales de tiempo se repite con las
mismas características. El estudio del movimiento periódico reviste trascendental importancia, ya que
casi la totalidad de los fenómenos físicos conocidos encierran elementos de periodicidad.

Elementos de un movimiento periódico:
Todo movimiento periódico está caracterizado por cuatro propiedades esenciales, a saber:
Período: Tiempo empleado para un ciclo de movimiento. Se designa con la letra T.
Frecuencia: Número de ciclos de movimiento durante un segundo. Se designa con la letra f.
Amplitud: La máxima separación del cuerpo oscilante con respecto a la posición de reposo.
Diferencia de fase: Es la diferencia entre el movimiento de dos péndulos que consiste en el
adelanto o retraso del uno con respecto al otro.
Al analizar las de niciones de período(T) y frecuencia (f) se observa que las dos magnitudes guardan
entre sí, una relación inversa.
De esta forma,

Problemas resueltos:
Un péndulo realiza 120 oscilaciones durante 1 minuto. Hallar el período y la frecuencia del
movimiento.
Solución.
Inicialmente se debe expresar el tiempo en segundos ya que de la de nión de frecuencia se
in ere que ésta es la unidad que debe ser utilizada. Se tiene que 1min = 60s.
La frecuencia se de nió como el número de oscilaciones por segundo, así:
f = 120osc=60s = 2osc=s
De la relación entre el período y la frecuencia:
T = 1=f = 1osc=(2osc=s) = 0;5s
La frecuencia de un movimiento vibratorio es 4vib=s: Determinar el número de vibraciones que
se veri caran en 12min:
Solución.
De forma análoga al problema anterior, se debe expresar el tiempo en segundos, así:
12min ¢ (60s=1min) = 720s:
Luego el número de vibraciones es:
N±vib = (4vib=s) ¢ 720s = 2880vib
Finalmente en 12min se registran 2880 vibraciones con base en la frecuencia del movimiento
vibratorio.

Problemas propuestos:
1. La frecuencia de un movimiento oscilatorio es de 8osc/s. Determínese el período del movimiento.
2. El período de un movimiento oscilatorio es de 0.2 segundos. Determinar el número de oscilaciones
que se veri carán en un minuto y medio.
3. Un volante realiza 2400 vueltas cada 2 minutos. Determinar el período y la frecuencia del
movimiento.
4. La hélice de un avión realiza 7200 revoluciones cada minuto y cuarto. Determinar:
Vueltas de la hélice en 6 minutos.
Frecuencia del movimiento.
Periodo del movimiento.
5. Una cuerda realiza 3000 ciclos en 4 seg. y otra 4500 en 9 seg. Calcular cuántas ciclos dará una
más que la otra en 2.5 minutos.
6. La frecuencia de un movimiento es de 3 vib/seg. Determinar el número de oscilaciones que se
veri carán en 3.5 minutos.

http://www.youtube.com/watch?v=69hxTlmXeYQ